Anfang des 20. Jahrhunderts war es von Interesse die Strahlungsausbeute von einem erhitzten Körper zu maximieren. Eine Glühbirne sollte möglichst natürliches Licht abgeben, was im Anfang noch nicht in dem Maße gegeben war. Man wusste sehr wohl, dass die Strahlungszusammensetzung von der Temperatur abhing, hatte aber keine griffige Theorie. Physikalische Grundlage war ein schwarzer Körper, eine Idealisierung eines strahlenden Körpers. Wenn es gelang die Verteilung der Strahlung über die Frequenz oder Wellenlänge als Funktion zu beschreiben, war somit die wesentliche Arbeit getan. Die Verteilung ergab sich experimentell nach der grünen Linie:
1900 veröffentlichte der englische Physiker John William Strutt 3. Baron von Rayleigh eine Ableitung der Strahlungsverteilung eines Schwarzen Körpers auf Grund der Elektrodynamik und statistischen Thermodynamik. Etwas später wurde von Sir James Jeans, dessen Formel mit einer Korrektur versehen und wurde als das Rayleigh-Jeans-Gesetz bekannt:
T=Temperatur des Körpers
ny=Frequenz
k=Bolzmannkonstante=1,3806 J/K
ny als Frequenz steht hier in der 2. Potenz, Die Verteilung ergibt sich nach der obigen roten Linie. Für hohe Frequenzen ergab sich eine Ultraviolett-Katastrophe. Der Ansatz war nur für niedrige Frequenzen eine gute Näherung! (rote Linie), entsprach auch durchaus der klassischen Vorstellung.
Es gab zu der Zeit weitere zwei unvollständige Ansätze der Strahlungsverteilung, das Wien‘sche Strahlungsgesetz (1894/96) und das Wien‘schen Verschiebungsgesetz (1893/94). Wilhelm Wien erhielt für seine Arbeiten zur Wärmestrahlung 1911 den Nobelpreis.
Das Wien‘sche Verschiebungsgesetz macht eine Aussage über das Maximum der Strahlung der gesamten Strahlungsverteilung für eine Frequenz oder Wellenlänge:
Zu beachten ist die Tatsache, dass die Frequenz nicht gleich der Wellenlänge ist. Die liegen, wie wir sehen werden, etwas auseinander, die Umrechnung Lambda=c/f ist also hier verkehrt! Dieses Gesetz sagt über die Frequenz aus, dass je höher die Temperatur ist, umso höher ist die Frequenz des Maximums oder die Wellenlänge umgekehrt proportional.
Mit diesem Verschiebungsgesetz gab es immerhin eine zweite Beschreibung für die Verteilung, die Frequenz des Maximums.
Das Wien’sche Gesetz lautet folgendermaßen:
C1, C2 als Konstanten
Dieses Gesetz bildet die Verteilung im kurzwelligen Licht gut ab, versagt aber im langwelligen Bereich. (Blau gestrichelte Linie). Plank hatte somit das Problem, dass die Strahlungsgesetze nicht vollständig die experimental gefundenen Gesetzmäßigkeiten wiedergaben. Er wollte somit eine Formel finden, die dies ermöglichte. Er ging von der Entropie aus und rechnete die mittlere Energie von Oszillatoren aus. Diese Oszillatoren waren aber Teilchen (Photonen), die nur eine diskrete Energie E=h*ny aufnehmen oder abgeben konnten. Damit konnte er das Rayleigh-Jeans-Gesetz durch sein Strahlungsgesetz korrigieren.
In diesem Artikel gehe ich vom Wien’schen Gesetz aus, was nicht so kompliziert ist. Das Wien‘sche Gesetz war schon eine gute Näherung, bedurfte aber einiger Korrekturen. Zunächst fällt in (1) der Term K * T auf, der aus der Thermodynamik kommt. Da er in (3) fehlt, wird der Exponent um K erweitert. Damit ändert sich die C2 um den Faktor K und wurde von Plank als Hilfsgröße h bezeichnet:
Als nächstes wurde die E-Funktion linearisiert. Das geschieht durch eine Entwickelung in die Taylorreihe an der Stelle a. Reihenentwickelungen einer Funktion von x geben eine Funktion wieder, wobei höhere Terme wegen ihrer Kleinheit vernachlässigt werden können. Wenn eine solche Funktion nur noch von x abhängt, nennt man den Vorgang eine Linearisierung (Geradenfunktion, Tangente im Aufpunkt):
Wenn man diese Reihe nach dem zweiten Term abbricht, hat man die Linearisierung. Der Exponent wird zunächst durch x ersetzt:
Mit a=0 folgt:
In einem „Akt der Verzweiflung“ (Plank) wurde durch Weglassen des ersten Addenden (1) die Näherung zwar verschlechtert, was bei der Größe des zweiten Addenden aber kaum eine Rolle spielte, da
In (4) eingesetzt ergab sich somit
Damit war Plank fast am Ziel. Denn nun war nur noch die Prüfung auf die Plausibilität erforderlich. Für kleine Frequenzen gilt die Linearisierung (s.o.):
Das kommt (1) schon sehr nahe. Für C1 wird als Konstante 8 * Pi * h / c ** 3 eingesetzt, h kann gekürzt werden und die Formel (1) wurde erreicht. Damit lautet die komplette Formel:
Dies ist die Plank’sche Verteilungskurve, die die reale Strahlungsverteilung mathematisch genau beschreibt (grüne Kurve oben). Hier ist nur noch die Hilfsgröße h zu erklären. Durch Auswertung dieser Funktion nach h ergibt sich die Größe:
h = 6,626 * 10 ** -34 Js
eine sehr kleine Größe, die es aber in sich hat. Sie wird Plank’sches Wirkungsquantum genannt, und beinhaltet die Geburt der Quantentheorie. Plank hat damit die Strahlung als Gas von Teilchen, Photonen, beschrieben. Der Term h * ny ist die Energie eines Photons, also definitiv eines Teilchens. Damit ist der Streit um die Natur des Lichtes (Korpuskel <> Welle) endgültig aus der Welt geschafft. Beides beschreibt das Licht. Das Wirkungsquantum ist auch eine Größe, die die Granulation der Natur bestimmt. Unterhalb dieser Größe ist eine Bestimmung von Ort und Impuls nicht gleichzeitig möglich. Es liegt eine Unbestimmtheit vor, da allein die Messung eines Korpuskels eine solche Wechselwirkung auf das Teilchen ausübt, dass eine sinnvolle Messung unmöglich wird.
Heisenberg drückte dieses in einer symbolischen Aussage aus:
Delta x * Delta p = h
Das ist die Heisenberg’sche Unschärferelation. Das Wirkungsquantum ist also eine Grenze im Mikrokosmos (ähnlich der Lichtgeschwindigkeit im Makrokosmos). Die Bedeutung der Quantentheorie hat ähnliche Auswüchse bekommen wie die Relativitätstheorie. Moderne Errungenschaften wie das Laserlicht oder der Transistor wären ohne diese Theorie nicht entstanden, wie auch die Atom- und Wasserstoffbombe. Die Quantentheorie stellte eine Revolution in der Physik dar, wie auch die allgemeine Relativitätstheorie. Die Quantentheorie ist zum Verständnis der Vorgänge im Atom und vor allen Dingen im Kern unerlässlich. Dort sind die Quarks entdeckt worden aus denen die Protonen (2 Up-Quarks und 1 Down-Quark) und Neutronen(2 Down-Quarks und ein Up-Quark) bestehen, die zusammen mit den Elektronen die für uns grundlegenden Elementarteilchen bilden. Durch Kollision div. Teilchen in Beschleunigern wurden weitere Elementarteilchen gefunden, welche bei der Entstehung des Universums durchaus beteiligt waren und sind („Teilchenzoo“). Eins davon ist das Photon, welches keine Masse und keine Ladung besitzt und deshalb eine beliebig große Reichweite hat. Die Quantentheorie wiederum hat große Auswirkungen für die Kosmologie gebracht. Physikalisch lässt sich die Entstehung des Universums bis zum Urknall (Georges Lemaitre, 1894-1966, Theologe und Astrophysiker) zurückverfolgen( 13.799±0.021 Milliarden Jahre, Erde 4,6 Milliarden, Gattung Homo 3 Millionen Jahre, Homo sapiens 300000 Jahre) . Die Auslösung des Urknalls selbst entzieht sich heute allerdings einer Erklärung.
Die katholische Kirche hat dazu einfach einen Schöpfungsakt (1951 durch Papst Pius XII.) eingesetzt und damit einige Teile der Genesis faktisch zum Mythos erklärt. Theologisch gibt es die Creativisten und die Evolutionisten. Die ersteren nehmen die Bibel wörtlich und setzen die Schöpfung der Welt ca. 6000 vor Christus an, im Vertrauen auf die biblischen Aussagen über die Generationen der Juden (Jeder Jude kennt seine Abstammung!). Die Evolutionisten vertrauen eher auf die Theorie Darwins und unterstellen eine Entwickelung von Eiweißkörpern bis zum Menschen. Aus gutem Grunde lehnen die Creativisten die Altersbestimmung nach der C-14-Methode ab und damit auch einige physikalische Erkenntnisse, die ihren Standpunkt erschüttern würden, das Mittelalter lässt winken. Die C-14-Methode geht von der Verteilung von Kohlenstoffisotopen aus, die in der Form C-12, C-13 und C-14 vorliegen. C-12 ist das sechste Element im Periodensystem und hat 6 Elektronen, 6 Protonen und 6 Neutonen. C 13 hat ein Neutron mehr und C-14 ein weiteres Neutron. C-14 ist radioaktiv und hat damit eine Zerfallszeit (Halbwertzeit) von 5730 Jahren. C-14 kommt in der Natur mit einem Verhältnis zu C-12 von 1 zu einer Billionen vor. Kohlenstoff wird von Pflanzen und Tieren während der Lebenszeit in diesen Teilen aufgenommen. Wenn sie aber absterben wird das Verhältnis zu Ungunsten von C-14 verändert, weil kein Kohlenstoff mehr aufgenommen wird. Wegen des Wissens um den Zerfall kann an Hand des Mengenverhältnisses das Alter der toten Masse bestimmt werden. Das ist bis zu 60000 Jahren möglich. Man hat damit durchaus Altersbestimmungen bis in diese Größenordnung gemacht. Die Entstehung der Welt nach den Creativisten ist also ad absurdum geführt.
Wenn man von der Strahlungsfunktion die Ableitung bildet, kann man das Maximum der Kurve durch die Nullstellen der Ableitung finden. Die Ableitung findet man durch die partielle Differenziation. Die Funktion wird zunächst vereinfacht:
Damit lautet die Funktion:
und die Ableitung:
Nach Nullsetzen (zur Bestimmung der Maxima/Minima) und Kürzung einiger Terme:
In diesem Fall ist die Rechnung wegen der transzendenten Funktion nicht einfach, das Ergebnis wurde mit der Regula Falsi angenähert. In die Vereinfachung eingesetzt ergibt sich ny=2,8214 * kT/h=5,878*T (Siehe (2)) was dem Wien’schen Verschiebungsgesetz entspricht. Das ist eine Punktlandung einer Bestätigung.
Die Strahlungsfunktion in Abhängigkeit von der Wellenlänge lautet:
Mit der Substitution:
erhält man:
Für x=0 ist diese Funktion nicht definiert (Nullstelle im Nenner), Differenziert ergibt sich:
und zu 0 gesetzt und gekürzt:
Die Nullstelle mit Regula Falsi x=4,9651 ergibt in die Substitution eingesetzt:
Dies ist wiederum eine Bestätigung des Verschiebungsgesetzes. Durch die Differenzierung ergeben sich die Maxima der Funktionen mit unterschiedlichen Werten. für Lambda und Ny, weshalb das Produkt beider Werte nicht gleich der Lichtgeschwindigkeit ist!
Das menschliche Auge hat im Laufe der Evolution sich an das Sonnenlicht angepasst, weshalb in etwa die Lichtempfindung analog der Strahlungsverteilung hat. Damit wird auch klar, welche Werte eine Glühlampe haben musste, damit sie ein optimales Licht abgab. Die Temperatur des Glühfadens musste somit möglichst der Oberflächentemperatur der Sonne entsprechen. Das ist mit 5777 K nicht wenig, was die Produktion von Glühlampen erschwert, da der Glühfaden natürlich lange durchhalten musste. Mit Wolframlegierungen wurde dies möglich, trotzdem setzten sich Glühlampen mit warmweiß (2700-3300 K)oder neutralweiß (3300-5300 K) gegenüber tageslichtweiß (>5300 K) eher durch, da sie ein angenehmeres Licht verbreiteten. Mit der Erfindung der Neonröhren ergab sich eher das Problem der Simulierung der Strahlungsverteilung, da damit kein schwarzer Körper als Strahlungsquelle diente, wie das auch für die LED-Lampen gilt.
Die Strahlungsgesetze haben einige Auswirkungen in der Kosmologie bekommen. Die Oberflächentemperatur der Sonne wurde damit bestimmt (5777 K) ebenso die Oberflächentemperatur anderer Sterne. Die moderne Fiebermessung im Ohr benutzt auch diese Theorie, ein Ohr ist eine gute Näherung eines schwarzen Körpers.
24.01.2022 Johannes Lötz