Wenn man Musik technisch betrachten will, wird man dieses natürlich mit einer technischen Brille versuchen. Das Ganze wird damit sehr mathematisch, entspricht aber durchaus der Entwickelung der Musikkultur in der Menschheit. Musik wird als störend oft empfunden, da sie mit Geräusch verbunden. So dichtete Wilhelm Busch schelmisch in einem seiner Gedichte. Das klingt wie ein Aphorismus und enthält auch viel Wahres.
Musik ist zunächst ein Ereignis, welches unser Gehör anspricht. Dies ist eines unserer Sinnesorgane, welches auf Schallwellen anspricht. Dies sind räumliche Druckänderungen der Luft. Damit ist Musik mit einem Medium verbunden, welches uns auf der Erde zwangsläufig umgibt. Im luftleeren Raum können Schallwellen nicht benutzt werden, da ein entsprechendes Medium fehlt. Es könnte auch ein anderes Medium sein, wie z.B. Wasser, aber ein solches Medium muss vorhanden sein. Fische haben durchaus auch ein Gehör, das funktioniert aber etwas anders als unseres, da Wasser ganz andere Eigenschaften hat als Luft.
Neben dem Gehör besitzen wir eine Stimme. Die ist wie das Gehör sehr komplex aufgebaut. Das frequenzerzeugende Organ sind die Stimmbänder. Die allein sind aber nicht in der Lage, laute Töne zu produzieren. Dazu dienen die Mundhöhle und die Nebenhöhlen des Kopfes. Durch Muskelkontraktionen wird der Ton der Stimmbänder gebildet. Die Nebenhöhlen werden auf dem gleichen Wege zu Resonanzräumen zur Verstärkung der Frequenzen. Die richtige Lautstärke unserer Stimme wird durch die Mundhöhle gebildet. Sie wirkt wie bei der Trompete als Schalltrichter. Dabei wird eine Anpassung der inneren und äußeren Parameter (Luftwiderstand) vorgenommen. Optimiert wird das durch Veränderung der Mundhöhle mittels Muskelkontraktion.
Dahinter steht die mathematische Theorie der Felder, die um 1800 für die Erklärung von Gravitationskräften entwickelt wurde. 1850 schuf Maxwell die Elektrodynamik, die auch auf der Feldtheorie fußte. Die Feldtheorie besteht aus einem Wirbelfeld und einem Quellenfeld. Grundsätzlich können diese auch nicht vorhanden sein, sog. quellen- oder wirbelfreie Felder. Wenn so etwas vorliegt, wird die Mathematik sehr viel einfacher. Diese Theorien lassen eine Berechnung von Feldern aus den vier (modernen) Physikbereichen (Gravitation, Elektrodynamik, Starke Kraft, Schwache Kraft) zu.
Eine wichtige Eigenschaft ist die Schallgeschwindigkeit. Sie bestimmt, wie schnell wir von einem entfernten Schallereignis Kenntnis bekommen. Die Schallgeschwindigkeit ist auch eine notwendige Voraussetzung, dass wir Schallquellen orten können. Da wir zwei Ohren haben, die einen Abstand von ca. 16 cm haben, kommen die Schallereignisse mit einem gewissen Versatz an den Ohren an, je nachdem aus welcher Richtung der Schall kommt. Diese Differenz haben wir in unserer Entwickelungsgeschichte zu berechnen gelernt. Automatisch richten wir bei einem Knall unsere Augen in die entsprechende Richtung, um einen (vermeintlichen) Angriff abzuwehren. Wir wissen sofort woher das Geräusch kommt (Stereophonie).
Üblicherweise sind wir dauernd von einer Geräuschkulisse umgeben, welche förmlich auf uns einprasselt. Physikalisch umgibt uns ein Raum mit örtlich in der Zeit variablen Luftdrücken. Einen solchen Raum bezeichnet man als Feld, welches man mathematisch durchaus berechnen kann. Die Meteorologen tun dies z.B. mit den Luftdrücken, Temperaturen und Windgeschwindigkeiten um das Wetter vorauszuberechnen. In der Mechanik gibt es die Strömungslehre und in der Elektrotechnik die theoretische Elektrotechnik, die beide auf den gleichen mathematischen Grundlagen der Feldtheorie technische Vorgänge erklärbar machen. Beim Schall beschäftigt sich damit die physikalische Akustik.
Schallereignisse werden in Töne, Klänge und Geräusche eingeteilt. Ein Ton ist ein Schallereignis mit eine eindeutigen Frequenz, Klänge sind zwei oder mehr Töne auch unterschiedlicher Frequenz. Geräusche sind viele Klänge ohne definierten Zusammenhang. Hier ist das Wort Frequenz aufgetaucht, welche kurz erklärt werden muss. Töne sind in der Regel periodisch. Der einfache Ton, wie der Kammerton a, besteht aus einer definierten Frequenz von 440 Hz.. Da wird also innerhalb einer Sekunde etwas 440-mal wiederholt. Das einfachste Modell dafür ist eine Sinuswelle, die aus der Kreisbewegung abgeleitet werden kann. Der Umlauf im Kreis ist die Grundlage der Periodizität.
Ein Auto möge auf einem großen Parkplatz im Kreis fahren um einen Mittelpunkt. Wenn man am Rand stehend genau auf den Mittelpunkt schaut, wird sich das Auto mal rechts und mal links von der gedachten Sichtlinie zum Mittelpunkt befinden. Wenn man den Abstand des Autos von der Sichtlinie über die vergangene Zeit abtrügt, erhält man exakt eine Sinuslinie oder Sinusfunktion. Dabei wird bei einer Umdrehung des Autos zweimal die gedachte Sichtlinie durchfahren, die Sinuslinie durchführt somit zweimal die Sichtlinie (oder auch Achse, wie der Mathematiker sagt). Die Frequenz ist die Anzahl der durchfahrenen Kreise bezogen auf die Sekunde. Ein Auto wird in diesem Gedankenversuch keine großen Frequenzen erreichen, da es mit Sicherheit irgendwann ausbricht oder umfüllt (Stichwort Elchtest).
Wir Menschen können mit unserem Gehör Frequenzen von ca. 20 bis 15000 Hz hören, je nach Alter weniger oder mehr. Dabei ist die Umsetzung von der Mechanik (Trommelfell) bis in die Nervenimpulse im Gehirn nicht unbedingt unabhängig von den Schallereignissen. Damit befasst sich die physiologische und psychologische Akustik, ein Wissenschaftszweig mit interessanten Fragestellungen und Ergebnissen.
Ein Ton wird also durch eine Sinuswelle mit definierter Frequenz dargestellt. Was geschieht aber, wenn wir eine zweiten Ton hinzufügen: wir bekommen einen Klang. Der einzige Parameter den wir nun ändern können ist die Frequenz. Wenn wir die zweite Frequenz durchgehend verändern, stellen wir fest, dass wir bei bestimmten Frequenzen einen angenehmen Wohlklang vernehmen. Das ist insbesondere für die ganzzahligen Vielfachen der Frequenz des ersten Tones der Fall (oder auch für die ganzzahligen Teile). Wegen dieser Auffälligkeit werden diese Töne auch Obertöne (Untertöne) genannt.
Der Grund für diese Erscheinung ist, das jeweils in eine Sinusschwingung des ersten Tones zwei, drei usw. Schwingungen des zweiten Tones hineinpassen. Genauer gesagt gilt dies auch für alle ganzzahligen Verhältnisse der Frequenzen zueinander wie 2/3 oder 4/5. Dies fiel schon Pythagoras auf, der sich in der Mathematik mit den Zahlen intensiv beschäftigt hatte. Er vermutete, dass alles mit ganzen Zahlen darstellbar sei, es also keine Zahlen außerhalb dieses Bereichs geben könne. Er konnte das nicht beweisen, unterstellte seine Vermutung aber als richtig (Alles ist Zahl). Brüche galten bei ihm als durch ganze Zahlen darstellbar, damit begründete er seine Lehre als einzig richtig. Sie wurde im Bund der Pythagoräer gehegt und gepflegt. Die ganzzahligen Verhältnisse heißen auch heute noch harmonische Verhältnisse im Anbetracht der wohlklingenden Töne in der Musik(wissenschaft).
Doch etwa hundert Jahre nach der Begründung der Lehre fiel einem Pythagoräer ausgerechnet am Geheimzeichen des Bundes auf, das diese Lehre Lücken hatte. Da ihm kein Pythagoräer seine Beweise glaubte, ging er beleidigt in die Öffentlichkeit (das hat sich auch bis heute nicht geändert) und verbreitete dort seine Erkenntnisse. Dieses Sakrileg vergaßen seine Bundesbrüder nicht und warfen ihn aus dem Bund und später sollte er auch von den Göttern damit bestraft worden sein, dass er auf einer Seefahrt ersoff. Mit seiner Erkenntnis entdeckte er aber die irrationalen Zahlen wie Wurzel aus 2. Da diese Büchse der Pandora nun geöffnet war, spaltete sich der Bund in die Akusmatiker (Er hat es gesagt) und die Mathematiker (Jünger der Erkenntnis).
Die Pythagoräer betrieben neben ihrer Wissenschaft Gymnasien zur Bildung von Nachwuchs. Dieser wurde in Mathematik (dazu zählte auch die Musik), Griechisch (Redekunst und Poesie), Philosophie und Leibeskräften unterrichtet. Hier ist der enge Zusammenhang der Musik mit der Mathematik zu spüren.
Das n-fache des Grundtones als Obertöne mit dem harmonischen Charakter der harmonischen ganzzahligen Brüche ist somit eine damals grundlegende Erkenntnis. Das Doppelte der Frequenz wurde zur Oktave, das dreifache begründete unser Zwölftonsystem. Wenn man nämlich zwölf mal hintereinander das dreifache des jeweiligen Tones bildet, gelangt man wieder auf einen Oberton des Grundtones – leider nur fast. Mit den damaligen Mitteln war dies aber nicht erkennbar. Man vermutete Versuchsungenauigkeiten und war eigentlich froh um diese neue Erkenntnis, da sie ja das eigene System stützte. Aber auch hier schlug das System zurück. Mit der Erkenntnis der irrationalen Zahlen wurde die Lücke zwischen Wollen und Wirklichkeit erkannt und bekam den Namen pythagoräisches Komma.
| Quintenschritt | Frequenz | *3/2 |
| 1 | 440 | 660 |
| 2 | 660 | 495 |
| 3 | 495 | 742,5 |
| 4 | 742,5 | 556,88 |
| 5 | 556,88 | 835,31 |
| 6 | 835,31 | 626,48 |
| 7 | 626,48 | 469,86 |
| 8 | 469,86 | 704,79 |
| 9 | 704,79 | 528,6 |
| 10 | 528,6 | 792,89 |
| 11 | 792,89 | 594,67 |
| 12 | 594,67 | 446,0025 |
| 13 | 446,00 |
Diese Tabelle zeigt die Frequenzen des Quintenzirkels also jeweils mit 3 multipliziert (und evt. durch 2 dividiert, damit man den Oktavraum nicht verlässt!). Nach der Mathematik landet man hier bei 892 Hz und nicht bei 880 Hz. 12 Hz Unterschied ist zwar nicht viel, aber kurz daneben ist auch vorbei. Diese Abweichung von 12 Hz ist das pythagoräische Komma, welches zwar klein ist, aber erhebliche Kopfschmerzen bereitet. Schlechte Sänger wird’s freuen, wir haben uns nämlich die harmonische Singweise angewöhnt, deswegen füllt der Gemeindegesang häufig immer mehr in den Keller, prima Ausrede! Die dreifache Frequenz landet auf einer Quinte, weswegen diese Reihe von Tönen in Quintenschritten vollzogen wird. Saiteninstrumente haben häufig Saiten in Quintenabständen. Bei der Stimmung muss eigentlich dem pythagoräischen Komma Rechnung getragen werden.
Diese Stimmung nach dem Quintenzirkel hatte sich allgemein eingebürgert und blieb lange bestehen. Erst im 16. Jahrhundert tat sich hier was. Etwa vor Bachs Zeit kamen die ersten Ansätze einer musiktheoretischen Neuorientierung. In der Musik hatte man sich angewöhnt die Tonarten mit vielen Kreuzen und B’s zu meiden. Durch die Quintenstimmung waren die Instrumente quintenrein gestimmt, evt. wegen der Kenntnis um das Komma nach Gefühl korrigiert. Je mehr die Tonart sich vom Grundton wegbewegte, umso mehr klang alles ungestimmt. Man schaue sich bitte an, in welchen Tonarten üblicherweise gespielt wurde, einige wurden gar nicht erst angefasst.
Dies änderte sich mit den ersten Ansätzen von Andreas Werkmeister und den Orgelbauern Silbermann. Diese erkannten die Fortschritte in der Mathematik und stellten eine ganz andere Stimmweise vor. Bekanntlich wird die Oktave durch Verdoppelung des Grundtones gewonnen. Jeder Halbtonschritt soll durch Multiplikation eines Tones mit einem festen Faktor erreicht werden. Dieser Halbtonschritt-Faktor ist folglich die 12te Wurzel aus 2 = 1,05946…, damit errechnen sich die Töne zu folgenden wahren(temperierten) Frequenzen:
| Ton | Temp.Frequenzen(Hz) | ReineFrequenzen(Hz) | Abweichungen(%) |
| a | 440 | 440 | 0 |
| b | 466,1637615 | 469,86 | 0,793609465 |
| h | 493,8833013 | 495 | 0,226105791 |
| c | 523,2511306 | 528,6 | 1,021509652 |
| cis | 554,365262 | 556,88 | 0,45272282 |
| d | 587,3295358 | 594,67 | 1,249925136 |
| dis | 622,2539674 | 626,48 | 0,679852243 |
| e | 659,2551138 | 660 | 0,112989063 |
| f | 698,4564629 | 704,79 | 0,907495219 |
| fis | 739,9888454 | 742,5 | 0,339350328 |
| g | 783,990872 | 792,89 | 1,135652909 |
| gis | 830,6093952 | 835,31 | 0,56622341 |
Die Abweichungen zu den reinen Frequenzen liegt zwischen 0,2 und 1,2 %. Jetzt sieht man den Pferdefuß der reinen Stimmung: wegen des Kommas sind auch noch die Abstünde zur wahren Stimmung sehr unterschiedlich. Kein Wunder, dass nicht alle (reinen) Tonarten gespielt werden konnten. Diese wahre Stimmung wurde temperiert (gleichschwebend) genannt.
Hier liegt jetzt ein Kern der Bedeutung Johann Sebastian Bachs. Er war ein musikalisches Wunderkind. Das war Glück, ebenso wie die Tatsache, das er in einer weitverzweigten Organisten- und Musikerfamilie aufwuchs. Trotz der Armut in der er aufwuchs, wurde ihm die höhere Bildung in Lüneburg in einem für ihn optimalen Umfeld ermöglicht, musste dafür halt Metten singen. Er hatte dort allerdings auf die Bibliothek Palestrinas Zugriff, die Beispiele aus der gesamten europäischen Musik enthielt. Er reiste nach Lübeck und Hamburg und hörte so die norddeutschen Orgelmeister. Die Tochter Buxtehudes wollte er nicht heiraten, sie war potthässlich, allerdings musste er damit auf die Anstellung in Lübeck verzichten (anderen bekannten Anwärtern ging es ebenso, der Posten war aber leider nur erblich!). Alle musikalischen und musiktheoretischen Grundlagen seiner Zeit waren ihm geläufig. So nimmt es nicht Wunder, dass er sehr häufig zu Orgelinspektionen einen Auftrag bekam. Mit Silbermann muss er sicher zusammengekommen sein. Werckmeister war ihm auch geläufig. Er war jedenfalls der erste ernsthaft tätige Musiker, der sich aller Tonarten annahm und das Wohltemperierte Klavier in zwei Teilen komponierte, sowie ohne Probleme chromatisch durch alle Tonarten gesetzte Werke schuf.
Überliefert ist die Geschichte eines französischen Cembalomeisters, der sich in Köthen mit Bach ein Musikduell liefern sollte. Absolute Fürsten liebten so etwas, Musiker hassten das. Bach konnte es verhindern, dass dem Franzosen zu viel von seinem Können zu Ohren kam. Kurz vor dem Auftritt gelang es dem Franzosen dann doch, Bach beim Einstimmen zu hören. Entsetzt erkannte er, dass Bach die ihm unbekannte temperierte Stimmung benutzte und chromatisch durch die Tonlagen eilte. Schleunigst packte er seine Koffer und sucht das Weite.
Das eigentliche Problem der temperierten Stimmung war die Technik der Stimmung. Moderne Stimmgeräte waren nicht bekannt und Cembalos haben leider die Eigenheit schnell zu verstimmen. Den genauen Tonabstand von 12ter Wurzel aus 2 war faktisch nicht zu treffen, weil die auseinanderliegenden Töne ja nicht harmonisch waren, aber bei den Quinten lagen die temperierten Töne so nahe beieinander, dass sie Schwebungen bildeten, die man einfach zählen konnte. Diese machte man durch Aufrunden oder Abrunden ganzzahlig, lag damit zwar etwas daneben, aber noch immer besser als bei der reinen Stimmung. Es entwickelte sich durch das Aufrunden oder Abrunden der Schwebungen eine Phalanx von Stimmvorschriften und heute muss man sich schon entscheiden, welche man denn gerne hütte. Denn die Klangbilder der verschiedenen Tonarten sind davon stark berührt. Ein Stück eines Komponisten in der Stimmung A klingt nicht so wie in der Stimmung B, für welche sie komponiert wurde. Die nachkonstruierte Silbermannorgel in der Frauenkirche in Dresden löste einen Streit um die richtige Stimmung unter professionellen Musikern, Musikliebhabern und solchen, die beides gerne sein wollten, aus, der bis heute verürgerte Orgelfans hinterließ.
Wir haben uns bisher mit den Tönen befasst und wollen nun zu den Klängen kommen. Mit den harmonischen Klängen habe wir uns schon auseinandergesetzt. Weitere Klänge können mit den schon vorgestellten Orgeln erzeugt werden.
Orgel sind mehrfüßig angelegt, d.h. pro Taste kann mehr als eine Pfeife aktiviert werden. Diese Pfeifen stehen genau in dieser Obertonreihe (oder Untertonreihe). Durch geschicktes Auswühlen der Pfeifenreihen (Register) können sehr unterschiedliche Klangfarben erzeugt werden. Die Pfeifen können temperiert gestimmt sein oder auch rein (Aliquoten). Die Füssigkeit beruht auf den Pfeifenlüngen. Die Tonhöhe, die zur Taste passt ist der 8-Fuss. Die dazugehörige Oktave der 4-Fuss, die Pfeife hat damit die halbe Lünge (vom Labium gezühlt, das ist der Anblasmechanismus).
Das Labium (Lippe) sorgt für einen unstabilen Luftstrom, weil es den eingeblasenen Luftstrom in zwei Ströme teilt, einen der in die Pfeife geht und einen der nach außen geht. Der Luftstrom in der Pfeife baut einen Druckanstieg auf, der mit Schallgeschwindigkeit durch die Pfeife saust und den Luftstrom am Labium hindert, weiter in die Pfeife zu kommen und regelrecht zurückdrückt. Am Ende der Pfeife ist diese aber offen und der Druck kann sich entspannen. Das tut er aber so schnell, das er förmlich die Luft aus der Pfeife saugt und damit einen Unterdruck erzeugt. Diese Unterdruckwelle geht zurück zum Labium und zieht dort förmlich die Luft so schnell ein, das der Luftstrom im Wesentlichen in die Pfeife gelangt. Das erzeugt wieder eine Druckwelle ….. und so geht das periodisch weiter. Entscheidend ist dabei die Luftsüule in der Pfeife, die durch diese Vorgünge in Eigenschwingungen gerüt. Die Schallgeschwindigkeit ist dabei die entscheidende Größe. Da der Schall (Druckwelle) eine konstante Geschwindigkeit hat (333 m/sek) und die Pfeifenlünge ebenso eine gleichbleibende Lünge hat, ist der Schall bei einer kürzeren Pfeife schneller durch, als bei einer lüngeren. Somit laufen die Eigenschwingungen schneller ab und damit wird eine höhere Frequenz erzeugt. Da die Schallgeschwindigkeit konstant ist, ist für die Frequenz einer Pfeife nur die Pfeifenlünge (ab Labium) entscheidend. Sie entspricht einem Halben der Wellenlünge = Schallgeschwindigkeit / Frequenz, am offenen Ende der Pfeife gibt es einen Schwingungsknoten (Druck=0) und am unteren Ende einen Schwingungsknoten.
Also kurze Pfeife hoher Ton, lange Pfeife niedriger Ton. Nun kann aber eine Pfeife gedeckelt sein (Gedackt). Das macht für den Vorgang nur den Unterschied, dass am Pfeifenende statt eines Unterdruckes ein Überdruck entsteht. Die Verhältnisse bedeuten lediglich, das dadurch die Resonanzschwingungen nur halb so groß sind wie bei einer ungedeckelten Pfeife. Die Pfeifen liegen damit um eine Oktav niedriger. Bei kleinen Instrumenten wird dieses Prinzip wegen Platzmangels gerne angewandt.(Harmonium, Bandoneon). Die Pfeifenlänge entsprich einem Viertel der Wellenlänge. Es gibt am oberen Ende einen Schwingungsbauch und am unteren Ende eine Schwingungsknoten (Druck = 0)
Neben den Schwingungen in Längsrichtung gibt es auch noch Schwingungen in Querrichtungen. Je nachdem wie weit die Pfeife gebaut wird oder wie eng, ergeben sich Klangunterschiede. Dadurch werden Register wie Flöte, Principal und Strings erzeugt. Der Mechanismus wird als Superposition bezeichnet, auf deutsch Überlagerung. Dieses ist ein elementares Prinzip im Orgelbau (und in der Physik). Zwei oder mehr Töne unterschiedlicher Frequenz überlagern sich, die Sinuswellen werden aufaddiert. Man beachte das die Sinuswellen auch negative Bestandteile haben, dann wird etwas subtrahiert. Dadurch ergeben sich ganz andere Frequenzkurven als Sinus. Mann kann sogar zeigen, dass – vorausgesetzt man nimmt die richtigen Sinuskurven – sägezahnförmige oder rechteckige Frequenzkurven erzeugen kann. Diese Berechnungen hat schon Fourier zur Analyse durchgeführt, die Orgel macht den umgekehrten Weg zur Synthese. Damit sind wir mitten in der Welt der Klänge angelangt. Wir haben dabei die Orgel als Beispiel etwas missbraucht, aber an ihr kann man das so schön erklären.
Hier sei die Synthese und die Ergebnisse nach Fourier kurz angedeutet. Mit Excel wurde dazu eine Tabelle erzeugt und in ein Diagramm umgesetzt. Es wurden nur die Obertöne bis zum 9. Oberton verwendet. Weitere Obertöne würden das Ergebnis natürlich verbessern, ich habe aber hier darauf verzichtet, da die Synthese nur angedeutet werden soll. Ein Rechteck entsteht durch Addition der geraden Obertöne mit reziproker Amplitude(Lautstärke). Ein Sägezahn benutzt alle Obertöne mit reziproker Amplitude. Damit das Ergebnis besser sichtbar ist, habe ich das in einem eigenen Diagramm festgehalten.
Fouriersynthese01
Fouriersynthese02
Nebenbei bemerkt: Haben sie mal sich die Orgelprospekte angeschaut, also die sichtbaren Pfeifenfronten. Mir fallen da als erstes die wundervoll geschwungenen Kurven auf, die die Pfeifenoberkanten bilden. Wie wir jetzt wissen werden die Töne in der Musik in aufsteigender Reihenfolge durch eine Faktor definiert. In den Pfeifenlüngen taucht dieser Faktor zwangslüufig wieder auf. Das Gleiche geschieht bei der Zinsrechnung: das Kapital wird mit einem festen Faktor immer größer. Mathematisch steckt dahinter die gleiche Wachstumsfunktion und genau diese erkennt man in den Kurven. Weit hergeholt? Beileibe nicht, Musik und Zinsrechnung gehen hier identische Wege. Liegt hier der Grund, warum die Musik teilweise so unbeliebt ist?
Verlassen wir zum Schluss die Welt der Klünge und wenden uns den Gerüuschen zu. Wenn mehrere Sinuswellen keine gemeinsamen Eigenschaften der Harmonik haben, sprechen wir von Gerüuschen. Gerüusche können periodisch auftreten (Hubschrauber) oder auch unperiodisch (Knall). Gerüusche sind schwierig künstlich herzustellen, ganz anders wie bei Klüngen. Musikalische Instrumente für Gerüusche sind z.B.: Stimmbare Schlaginstrumente (Pauke), nicht stimmbare Schlaginstrumente (Trommel), Körperinstrumente (Klatschen).